Dinamik soruları: Sürtünme, birbirini iten ve üst üste cisimler

Dinamik soruları konumuza sürtünmeli yüzeylerde ve ya düzlemlerde kuvvet uygulanan cisimlerin, birbirini iten cisimlerin ve üst üste cisimlerin hareketlerini inceleyerek devam ediyoruz.

Sürtünmeli Yüzeyde veya Düzlemde Dinamik Soruları

Sürtünme kuvveti cisimle yüzey arasındaki pürüzlülükten kaynaklanan, bir yüzey üstünde kayarak öteleme hareketi yapan cisimlerde daima hareket yönüne zıt yönde olan bir kuvvettir. Statik ve kinetik sürtünme kuvveti arasında da farklar olduğunu biliyoruz. Eğer cisim duruyorsa statik, hareket ediyorsa kinetik sürtünme kuvveti uygulanır. Sorularda genellikle statik sürtünmeyi mi yoksa kinetik sürtünmeyi mi kullanacağımız söylenir, ama söylenmezse bizim sorunun bağlamından hangi sürtünme türünün uygulanacağını çıkarmamız gerekebilir. Dinamik sorularında sürtünme kuvveti şöyle karşımıza çıkabilir.

Örnek dinamik soruları 1:

Şekildeki yatay düzlemde durmakta olan kütlesi 2 kg olan cisme 20 N kuvvet uygulanıyor. Yüzey ile cisim arasındaki kinetik sürtünme katsayısı k_k = 0,4 olduğuna göre, cismin ivmesinin büyüklüğü kaç m/s² olur? (g = 10 m/s²).

Çözüm:

Cismin ivmesini bulabilmemiz için üzerine uygulanan net kuvveti bulmamız gerekli. Serbest cisim diyagramını çizerek cismin üzerindeki tüm kuvvetleri gösterelim.

x ekseni doğrultusunda uygulanan F = 20 N ve harekete zıt yönde (eğer cisim hareket ediyorsa uygulanan kuvvetin yönünde hareket etmeli, çünkü başlangıçta duruyordu) f_s sürtünme kuvveti var. Sürtünme kuvvetini hesaplamak için f_s = k_kN formülünü kullanacağız. Bunun için yüzeyin tepki kuvvetini (N) bulmamız gerekiyor. Tepki kuvvetinin (normal kuvvetin) daima yüzeye dik yönde olduğunu hatırlayın. Zaten normal matematikte dik demek.

y ekseni doğrultusunda cismin ağırlığı \vec{G} = m\vec{g}, \vec{G} = 2 kg . 10 m/s^2 = -20 N (-y yönünde, o yüzden 20 N’un başında eksi işareti var, yönünü gösteriyor) ve normal kuvveti (yüzeyin tepki kuvveti) var. Kuvvetleri ısrarla vektör olarak (üstüne ok koyarak) yazdığımıza dikkat edin. Bu cisim yüzeyde y doğrultusunda (düşeyde) hareket etmiyor, yukarı ya da aşağı hareket söz konusu değil. Öyleyse düşey kuvvetlerin toplamı sıfır olmak zorunda. Bunu Newton’un birinci hareket kanununu eylemsizlikten biliyoruz. Öyleyse:

\vec{N} - m\vec{g} = 0 \vec{N} = m\vec{g}

Tepki kuvvetinin büyüklüğü ağırlığa eşit (N = 20 N), yönü ağırlığın zıt yönünde. (eksi işareti -y yönünü gösteriyor.)

Artık sürtünme kuvvetini hesaplayabiliriz:

\vec{f}_s = k_k. \vec{N} \vec{f}_s = 0,4 \times 20 \space N = -8 \space N

Sürtünme kuvvetinin yönü harekete zıt yönde (o yüzden 8’in başında eksi işareti var, -x yönünde sürtünme). Sürtünmeyi bildiğimize göre net kuvveti de bulabiliriz:

\vec{F}_{net} = \vec{F} - \vec{f}_s \vec{F}_{net} = 20 \space N - 8 \space N = 12 \space N

Nihayet ivmeyi de hesaplayabiliriz:

\vec{F}_{net} = m\vec{a} 12 \space N = 2 \space kg \space . \vec{a} \vec{a} = \frac{12 \space N}{2 \space kg} = 6 \space m/s^2

Birimlere dikkat:

N = kg . m/s^2 \frac{N}{kg} = \frac{\cancel{kg} . m/s^2}{\cancel{kg}}

Ayrıca ivmenin yönünün de net kuvvetle aynı yönde yani +x yönünde olduğuna da dikkat edin.

Örnek dinamik soruları 2:

Şekildeki kütlesi m = 2 kg olan takoz ile yatay yüzey arasındaki sürtünme katsayısı 0,4’tür. Cisme uygulanan kuvvet 20 N’dur ve yatayla açısı 37° dir. Cisim başlangıçta duruyorsa, cismin ivmesinin büyüklüğü kaç m/s² olur? (g = 10 m/s², sin 37° = 0,6, cos 37° = 0,8)

Çözüm:

Bu bir önceki soruya çok benziyor. Takoz (tahta blok demek cisim olarak kabul edeceğiz) yine başlangıçta duruyor. Net kuvveti bulup Newton’un ikinci kanununda yerine koyarsak ivmeyi de buluruz. Serbest cisim diyagramını çizelim:

Önce düşey bileşenlere bakalım. -y yönünde (aşağı doğru) cismin ağırlığı ve F kuvvetinin yine aşağı doğru olan y bileşeni var. Yukarı yönde (+y yönünde) yüzeyin tepki kuvveti (N) var. Bu cisim düşey doğrultuda hareket etmiyor, Newton’un birinci kanununa göre dengelenmiş kuvvetlerin etkisi altında. Öyleyse düşey doğrultudaki kuvvetlerin toplamı sıfır olmak zorunda.

-m\vec{g} + \vec{F}_y + \vec{N} = 0 \vec{F}_y = 20 . sin 37^\circ = 20 \times 0,6 = -12 \space N

-12 N başındaki eksi işareti kuvvetin yönünün -y yönünde olduğunu gösteriyor. (Bu konuda ısrar ediyoruz dikkat edin.)

-20+(-12) + \vec{N} = 0

Ağırlığın ve F_y‘nin başındaki eksi işaretleri -y yönünde olduklarını gösteriyor.

\vec{N} = 32 \space N

Tepki kuvvetinin yönü +y yönünde, yukarı doğru.

Şimdi sürtünme kuvvetinin büyüklüğünü hesaplayabiliriz.

\vec{f}_s = k_k. \vec{N} \vec{f}_s = 0,4 \times 32 \space N = -12,8 \space N

Sürtünme kuvvetinin -x yönünde olduğuna dikkat etmelisiniz (-12,8 N’un başındaki eksi işareti yönünü gösteriyor).

Net kuvveti bulmaya hazırız. x doğrultusundaki kuvvetlerin bileşkesini bulalım. F kuvvetinin x bileşenini hesaplamalıyız önce:

\vec{F}_x = \vec{F}.cos37^\circ \vec{F}_x = 20 \times 0,8 = 16 \space N

Şimdi net kuvveti yazalım ve Newton’un ikinci kanununu uygulayalım.

\vec{F}_{net} = \vec{F}_x - \vec{f}_s \vec{F}_{net} = 16 \space N - 12,8 \space N = 3,2\space N \vec{F}_{net} = m\vec{a} 3,2 \space N = 2 \space kg.\vec{a} \vec{a} = \frac{3,2}{2} = 1,6 \space m/s^2

Yine ivmenin yönü net kuvvetin yönüyle aynı +x yönünde.

Örnek dinamik soruları 3:

Başlangıçta durmakta olan yatay düzlem üzerindeki 2 kg kütleli tahta bloğa şekilde gösterilen yatayla 37° açı yapan 20 N’luk kuvvet uygulanıyor. Yatay düzlemle cisim arasındaki sürtünme katsayısı 0,4 olduğuna göre cismin ivmesinin büyüklüğü ve yönü ne olur? (g = 10 m/s², sin 37° = 0,6, cos 37° = 0,8)

Çözüm:

Önceki iki soruya benziyor bu soru da. Çözerken de yine aynı yöntemi kullanacağız. Serbest cisim diyagramını çizip kuvvetlerin yatay (x) ve düşey (y) bileşenlerini toplayacağız. Soruda verilen koşulları uygulayacağız (örneğin düşeyde hareket etmiyor bu cisim). Sonra da bizim bulmamız istenen ivmeyi hesaplayacağız.

Yine önce düşey bileşenlerden başlayalım. Kuvvetlerin işaretlerine dikkat edeceğiz ısrarla. -y yönünde (aşağı doğru) ağırlık var, + y yönünde (yukarı doğru) F kuvvetinin y bileşeni ve tepki kuvveti var. Bu cisim düşey yönde hareket etmiyor, öyleyse düşey yöndeki net kuvvet sıfır olmak zorunda.

-m\vec{g} + \vec{F}_y + \vec{N} = 0 \vec{F}_y = \vec{F}.sin 37^\circ = 20 . 0,6 \space N = 12 \space N (-20 \space N) + 12 \space N + \vec{N} = 0 \vec{N} = 8 \space N

Tepki kuvvetini bulduk, şimdi sürtünme kuvvetini hesaplayalım:

\vec{f}_s = k_k. \vec{N} \vec{f}_s = 0,4 \times 8 \space N = -3,2 \space N

Sürtünme kuvvetinin -x yönünde olduğuna dikkat edin (-3,2 N’un başındaki eksi işareti yönünü gösteriyor).

Net kuvveti bulmak için önce F kuvvetinin x bileşenini hesaplayalım:

\vec{F}_x = \vec{F}.cos37^\circ \vec{F}_x = 20 \times 0,8 = 16 \space N

Artık net kuvveti yazabiliriz:

\vec{F}_{net} = \vec{F}_x - \vec{f}_s \vec{F}_{net} = 16 \space N - 3,2 \space N = 12,8\space N \vec{F}_{net} = m\vec{a} 12,8 \space N = 2 \space kg.\vec{a} \vec{a} = \frac{12,8}{2} = 6,4 \space m/s^2

Yine ivmenin yönü net kuvvetin yönüyle aynı +x yönünde.

Birbirini iten cisimler ile ilgili dinamik soruları

Şimdi de birbirini iten cisimlerin dinamiğini yani hareketini ve hareketinin sebeplerini inceleyeceğiz. Aşağıdaki resimde yatay ve sürtünmesiz bir yüzeyde kütleleri sırasıyla m₁ ve m₂ olan iki tahta blok yerleştirilirse ve bu iki cisimden oluşan sisteme sabit (zamana ya da mekana – koordinata – göre değişmeyen) bir F kuvveti uygulanırsa sistemin ivmesi ve cisimlerin birbirine uyguladıkları etki ve tepki kuvvetleri nasıl olur?

Bu durumun dinamiğini incelemek için her zaman yaptığımız gibi önce serbest cisim diyagramını çizmeliyiz.

Düşeyde (y doğrultusunda) ağırlık ve yüzeyin tepki kuvveti birbirine eşit, çünkü düşey doğrultuda hareket durumu değişmiyor, cisim düşey doğrultuda hareket etmiyor.

Yatay doğrultuda ise, birinci bloğa uygulanan F kuvveti +x yönünde, ayrıca ikinci bloğu ittiği için ikinci blok da birinci bloğa -x yönünde F₂₁ tepki kuvveti uyguluyor (Newton’un üçüncü yasası etki tepki ilkesini hatırlayın). Buradan Newton’un ikinci kanununu yazabiliriz:

\vec{F}_{1net} = m_1\vec{a} \vec{F}_{1net} =\vec{F} - \vec{F}_{21} \vec{F} - \vec{F}_{21} = m_1\vec{a} (1.denklem)

Şimdi ikinci cisim için Newton’un ikinci yasasını yazalım:

Yine düşeyde net kuvvet sıfır. Newton’un birinci yasası eylemsizliğe göre hareket durumu değişmiyor yani. Sadece yatayla ilgilenmemiz yeterli.

\vec{F}_{2net} = m_2\vec{a} \vec{F}_{12} = m_2\vec{a}

Newton’un üçüncü kanunundan etki tepki kuvvetlerinin birbirine eşit büyüklükte ve zıt yönde olduklarını biliyoruz. Öyleyse:

\vec{F}_{12} = - \vec{F}_{21}

Bunu 1. denklemde yerine koyarsak:

\vec{F} - m_2\vec{a} = m_1\vec{a} \vec{F} = (m_1 +m_2)\vec{a}

Bu durumda da iki cismin tek bir cisim gibi davrandığını, ivmesini bulurken kütleleri toplayabileceğimizi görüyoruz.

Örnek dinamik soruları 4: Birbirini iten iki cisim

Şekildeki sürtünmesiz düzlemde kütleleri 2 kg ve 4 kg olan cisimlerden ilkine sabit 18 N’luk kuvvet uygulanıyor. Buna göre cisimler arasındaki temas kuvvetinin büyüklüğü kaç N’dur?

Çözüm:

Bu iki cisimden oluşan sistemin, kütleleri toplanmış tek bir cisim gibi hareket ettiğini yukarıda bulmuştuk. Öyleyse sistemin ivmesini bulmamız kolay:

\vec{F} = (m_1 +m_2)\vec{a} 18 \space N= (2 +4)\vec{a} \vec{a} = \frac{18 \space N}{6 \space kg} = 3 \space m/s^2

Temas kuvvetinin de ikinci cismi ivmelendiren kuvvet olduğunu analizimizde görmüştük: Öyleyse:

\vec{F}_{12} = m_2\vec{a} \vec{F}_{12} = 4 \times 3 = 12 N

Rakamları nasıl yerine koyduğumuzu adım adım incelemenizi öneririm. Bir de kendiniz rakamları koyarak serbest cisim diyagramlarını çizmelisiniz.

Üst üste cisimler veya bloklar ile ilgili dinamik soruları

Aşağıdaki şekildeki gibi yatay ve sürtünmesiz bir düzlemde kütleleri m₁ ve m₂ olan iki blok üst üste konulup alttaki blok sabit bir F kuvvetiyle çekilirse cisimlerin hareketi nasıl olur?

Önce iki blok arasında sürtünme olmadığını varsayalım. Alttaki cismin ivmeleneceği belli ama üstteki cisim ivmelenir mi? İvmelenmez. Çünkü serbest cisim diyagramını çizerseniz m₁ kütleli cismin üzerinde sadece ağırlığının ve tepki kuvvetinin olduğunu görürsünüz, ikisi de düşeyde. Yatayda kuvvet olmaz, bu nedenle cisim Newton’un birinci kanunu eylemsizliğe göre hareket durumunu korur. Duruyorsa durur, sabit hızla hareket ediyorsa sabit hızla hareket etmeye devam eder. Bu durumda alttaki cisim üstteki cismin altından kayarak ilerler.

Öyleyse iki cismin birlikte hareket edebilmesi için aralarında mutlaka sürtünme olmak zorundadır. Bu durumun serbest cisim diyagramını çizelim:

Düşeyde bu cisimler hareket etmiyor. Alttaki cismin tepki kuvvetinin m₁g + m₂g olduğuna dikkat edin ama.

Üstteki cismin alttakiyle beraber hareket edebilmesi için aralarındaki sürtünme kuvvetinin sistemin ivmesiyle aynı yönde olması gerekir. Öyleyse Newton’un ikinci kanunu şöyle yazabiliriz:

\vec{f}_s = m_1\vec{a}

İkinci cisim için de:

\vec{F} - \vec{f}_s = m_2\vec{a}

Öyleyse:

\vec{F} - m_1\vec{a} = m_2\vec{a} \vec{F} = (m_1+m_2)\vec{a}

İki cisim yine kütleleri toplanmış tek bir cisim gibi hareket ediyor.

Peki üstteki cismin alltaki cisimle birlikte kaymadan hareket edebileceği kuvvetin en yüksek değeri (F_maksimum) ne olur?

\vec{f}_s = m_1\vec{a}_{maksimum} k\vec{N}_1 = m_1\vec{a}_{maksimum} km_1\vec{g}_1 = m_1\vec{a}_{maksimum} \vec{a}_{maksimum} = k\vec{g}

Örnek dinamik soruları 5: Üst üste iki cisim

Şekildeki sürtünmesi ihmal edilen yatay düzlem üzerindeki sistemde m₁ = 2 kg ve m₂ = 4 kg’dır. F = 24 N değerini aştığında m₁ kütleli blok m₂ kütleli bloğun üstünde kaymaya başlıyor. Buna göre bloklar arasındaki statik sürtünme katsayısının en yüksek değeri kaçtır? (g = 10 m/s²)

Çözüm:

Cisimlerin serbest cisim diyagramını çizmelisiniz, yukarıda çizilmişi var, sadece rakamları yerleştirmeniz gerekiyor. Kuvvet ve ivme denklemlerini de yazmıştık. Analizimizin sonucunu kullanabiliriz:

\vec{a}_{maksimum} = k_{statik}\vec{g}

F = 24 N olduğunda ivme maksimum değerine ulaşmış oluyor. Öyleyse:

\vec{F} = (m_1+m_2)\vec{a}_{maksimum} 24 = (2+4)\vec{a}_{maksimum} \vec{a}_{maksimum} = \frac{24}{6} = 4 \space m/s^2 4 \space m/s^2 = k_{statik} \times 10 \space m/s^2 k_{statik} = \frac{4}{10} = 0,4

Dinamik soruları ile ilgili mutlaka okumanız gereken yazılar

1. Dinamik nedir? Sürtünmesiz düzlemde sorular ve çözümler
2. Eğik düzlem nedir? Sorular ve çözümler
3. Atwood makinesi nedir? Birbirine bağlı cisimler soruları
4. Eylemsizlik kuvveti nedir? Asansör soruları

Dinamik soruları ile ilgili kazanımlar

2017 – 11.1.3.1. Net kuvvetin yönünü belirleyerek büyüklüğünü hesaplar.

• Serbest cisim diyagramları üzerinde cisme etki eden kuvvetlerin gösterilmesi sağlanır.
• Yatay, düşey ve eğik düzlemde sürtünme kuvvetinin yönü belirlenerek büyüklüğünün hesaplanması sağlanır.

2017 – 11.1.3.2. Net kuvvet etkisindeki cismin hareketi ile ilgili hesaplamalar yapar.

• Hesaplamaların günlük hayat örnekleri üzerinden yapılmasına özen gösterilir.
• Sürtünmeli ve sürtünmesiz yüzeyler dikkate alınmalıdır.