Daha önce alan kavramını elektrik alanı anlatırken açıklamıştık. Alan temas gerektirmeyen kuvvetleri açıklamakta kullanılan fiziksel bir modeldir. Kütle çekim alanı kütlesi olan bir cismin uzayın özelliklerini değiştirerek etkisini yaymasıdır. Bu alana karşı sadece kütlesi olan cisimler duyarlıdır, sadece kütlesi olan şeyler etkilenirler. Alan uzayı değiştirir, diğer cisimler alanla etkileşir ve alan bu cisimlerin üstüne bir kuvvet uygular. Kütlesi olan herşey bir kütle çekim alanı oluşturur. Şimdi kütle çekim alanının tanımını, yani matematiksel modelini ya da formülünü gösterelim.
\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m_0}
Bu formülde g kütle çekim alanını, F kütle çekim kuvvetini, m0 ise bir test kütlesini gösteriyor. Peki kuvvet ne?
\vec{F} = G\frac{ M m_0}{r^2}
Burada M Dünya’nın kütlesi r ise cisim ile Dünya’nın merkezi arasındaki uzaklık. Şimdi alanı tekrar yazalım.
\vec{g} = G\frac{M \cancel {m_0}}{r^2 \cancel {m_0}} = G\frac{M }{r^2}
Bir cisim (kütlesi m olsun) bu alanla etkileşirse üzerine etkiyen kütle çekim kuvveti cisimle alanın çarpımına eşit olur. Alanın tanımına tekrar bakın. Öyleyse kuvveti şöyle yazabiliriz:
\vec{F} = m\vec{g}
Bu aşırı tanıdık gelmiş olmalı. Kuvvet hareket konularında sürekli karşımıza çıkıyordu, yine çıktı. Şimdi Newton’un ikinci hareket kanunu kullanalım. Yeryüzünde bir cismi serbest bıraktığımızda ivmelendiğini biliyoruz. Artık o ivmeye neden olan kuvvetin de me olduğunu biliyoruz.
\vec {F} = m\vec{a}; \vec{F} = m\vec{g}
Öyleyse:
\vec{a} = \vec{g}
Yani ivme alana eşit. Son olarak yeryüzünde olduğumuzu, Dünya’nın yarıçapının 6000 km olduğunu ve 1 km’nin altındaki yüksekliklerin bu formülde pek birşeyi değiştirmeyeceğini fark edelim. Yeryüzünde kütle çekimi alanını bu nedenle sabit kabul ediyoruz. Bir de kütle çekim alanı bir vektör. Yönü daima Dünya’nın merkezine doğru. Peki büyüklüğü ne kadar? Hesaplayalım, Dünya’nın kütlesini m = 5,972 x 1024 kg yarıçapını r = 6371 km alıyoruz.
\vec{g} = \frac{(6,67 \times 10^{-11})(5,972 \times 10^{24})}{(6,371 \times 10^6)^2} = 9,81
Bu sayı tanıdık geldi mi? Bir de birimlerini inceleyelim:
[g] = \frac{[N]}{[kg]} = \frac{[kg \space m/s^2]}{[kg]} = m/s^2
İvme birimi çıktı. İşte bu nedenle kütle çekimi alanına aynı zamanda kütle çekim ivmesi ya da yerçekimi ivmesi diyoruz. Artık ağırlıkla kütle arasındaki fark çok net olmalı. Dünya’nın yüzeyindeki bir cisme etki eden kütle çekim kuvvetine cismin ağırlığı diyoruz.
Homojen bir kürenin kütle çekim alanı ve alan çizgileri
Daha önce elektrik alanda ve manyetik alanda kuvvet çizgilerini çizmeyi görmüştünüz. Şimdi de kütle çekim alanı içi dolu homojen bir küre için kütle çekim çizgilerini aşağıdaki resimde göreceksiniz.
- Kütle çekim alan çizgilerinin yönü her zaman kürenin merkezini gösterir.
- Alanın büyüklüğü çizgilere dik bir yüzey boyunca birim alan başına düşen alan çizgilerinin sayısı ile orantılıdır. Bu nedenle, çizgiler birbirine yakın olduğunda g daha büyük ve birbirinden uzak olduğunda daha küçüktür.
- Dünya yüzeyinin bir noktada nispeten düz olması nedeniyle, Dünya’ya yakın yerçekimi alan kuvveti düzgün olarak kabul edilebilir. Yani çizgiler paralel ve yere doğrudur.
Şimdi bir de alanın büyüklüğünü inceleyelim. Kürenin kütlesini hacmi ve özkütlesi cinsinden şöyle yazabiliriz.
V = \frac{4}{3}\pi r^3; m = dV; m = \frac{4}{3}\pi r^3d
Alanı hesaplayalım:
g = G \frac{\frac{4}{3}\pi r^3d}{r^2} = (G\frac{4}{3}\pi d)r; K = (G\frac{4}{3}\pi d)r; g = Kr
Yani alanın büyüklüğü kürenin içindeyken merkezden yüzeye doğru ilerledikçe artıyor, çünkü Kr demek alan yarıçapla doğru orantılı demek. Yüzeyinden sonra ise r’nin karesiyle ters orantılı olarak azalıyor. Bu bilgileri birleştirirsek şöyle bir grafik elde ediyoruz.
Kütle çekim alanı ve ivmesi ile ilgili kazanımlar
12.1.4.2. Newton’ın Hareket Kanunları’nı kullanarak kütle çekim ivmesinin bağlı olduğu değişkenleri belirler.
- Öğrencilerin yerçekimi ivmesini; dünyanın yarıçapı ve kütlesi cinsinden ifade etmeleri sağlanır.
- Öğrencilerin homojen bir kürenin içinde, yüzeyinde ve dışındaki çekim alanını gösteren kuvvet çizgilerini çizmeleri sağlanır.
- Her kütlenin bir kütle çekim alanı oluşturduğu vurgulanır.