Nehir problemleri: Bağıl ve bileşik hareket örnek sorular

Bağıl hareket ve bağıl hız neymiş bir önceki yazıda öğrenmiştik. Şimdi hareketli bir ortamda, sabit hızla giden cisimlerin hareketini, farklı gözlem çerçevelerine göre inceleyeceğiz. Nehir problemleri bu konunun en sık kullanılan örneklerinden olduğu için, nehir problemleri çözeceğiz.

Ama önce yere göre hareket eden bir trenin içinde, trene göre hareket eden bir kaykayın, yere göre hareketine bakalım. Bu da bir bağıl hareket, bileşik hareket de deniyor.

Yukarıdaki resimde bir tren düz bir yolda +x yönünde yere göre v_yt ilerliyor. v_yt, yere göre (y) trenin (t) hızı, alt indisler (v’nin sağ alt köşesindeki harfler) sırayla önce gözleyeni sonra gözleneni ifade ediyor. Trenin içinde bir kaykay da trene göre -x yönünde v_tk (trene göre kaykayın hızı) ilerliyor. Peki, yerden bakan bir gözlemciye göre kaykayın hızını (buna da v_yk diyelim) nasıl buluruz?

Yerden bakan gözlemciye göre trenin içinde hareket eden kaykayın bağıl hızı, yere göre trenin ve trene göre kaykayın hızlarının vektörel olarak toplanmasıyla bulunur:

\vec{v}_{yk} = \vec{v}_{yt} + \vec{v}_{tk}

Örnek soru 1: Trendeki kaykayın hareketi trene göre zıt yönde ise yere göre bağıl hızı

Trenin yere göre hızı 7 m/s, kaykayın trene göre hızı -3 m/s olsun. Yerden bakan gözlemci kaykayın hızını kaç m/s olarak görür?

Çözüm:

Bu durumda bir boyutta vektör toplamı yaparak kaykayın yere göre hızını bulabiliriz:

 

\vec{v}_{yk} = \vec{v}_{yt} + \vec{v}_{tk} \vec{v}_{yk} = 7 - 3 = 4 \space m/s

Yerden bakan gözlemci kaykayı +x yönünde 4 m/s hızla gidiyor görür. Oysa trenden bakan gözlemci kaykayı -x yönünde 3 m/s hızla gidiyor görür. Hangisi doğru? İkisi de, çünkü hareket göreli bir olgudur.

Örnek soru 2: Trendeki kaykayın hareketi trene göre aynı yönde ise yere göre bağıl hızı

Trenin yere göre hızı +7 m/s, kaykayın trene göre hızı +3 m/s ise, yerdeki gözlemcinin gözlem çerçevesine göre kaykayın hızını kaç m/s olur?

Çözüm:

Yine bağıl hızın tanımını kullanacağız:

\vec{v}_{yk} = \vec{v}_{yt} + \vec{v}_{tk}

Bu kez v_tk = + 3 m/s, öyleyse:

\vec{v}_{yk} = 7 + 3 = 10 \space m/s

Nehir problemleri: Akıntıyla aynı yönde hareket

Akan bir nehirde akıntıyla aynı yönde hareket eden bir sandal ya da tekne düşünelim. Bu sandalın hareketini farklı gözlem çerçevelerine göre değerlendirelim.

Yerden (kıyıdan) bakan gözlemci sandalın hızını nasıl görür?

Yukarıdaki resim kıyıdan bakan gözlemcinin gözlem çerçevesine göre sandalın ve nehrin hareketini gösteriyor. Kıyıdan (yerden) bakan gözlemciye göre hem nehirdeki su hem de sandal +x yönünde (sağa doğru) hareket ediyor. Bu durum, trenin içinde hareket eden kaykayla aynı durum. Öyleyse yerden bakan gözlemciye göre sandalın hızı:

\vec{v}_{ys} = \vec{v}_{yn} + \vec{v}_{ns}

v_ys yerden bakan gözlemciye göre sandalın hızını,

v_yn yerden bakan gözlemciye göre nehrin hızını,

v_ns nehirden bakan gözlemciye göre sandalın hızını gösteriyor.

Nehrin ve sandalın hızları aynı yönde olduğu için vektörel olarak topluyoruz.

Nehirden bakan gözlemci sandalın hızını nasıl görür?

Yukarıdaki resim nehirdeki bir gözlemcinin gözlem çerçevesine göre kıyının (yerin) ve sandalın hareketini gösteriyor. Nehre göre sandal +x yönünde (sağa doğru), yer ise -x yönünde (sola doğru) hareket ediyor. Nehir kendi gözlem çerçevesine göre hareket etmiyor, hızı sıfır, duruyor. Nehre göre sandalın bağıl hızı v_ns ve yerin bağıl hızı ise v_ny.

Sandaldan bakan gözlemci nehrin ve yerin hızını nasıl görür?

Sandaldan bakan gözlemcinin gözlem çerçevesine göre sandal hareket etmiyor, duruyor. Nehir ve kıyı (yer) -x yönünde (sola doğru) hareket ediyorlar. Nehrin sandala göre hızı v_sn ve yerin sandala göre bağıl hızı da v_sy.

Bu üç gösterim, aynı duruma üç farklı gözlem çerçevesinden bakmayı anlatıyor. Hangisi doğru? Hepsi.

Nehir problemleri: Akıntıya zıt yönde hareket

Şimdi akıntıya ters yönde hareket eden sandalın hareketine bakalım.

Yerden (kıyıdan) bakan gözlemci sandalın hızını nasıl görür?

Yukarıdaki resimde yerdeki gözlemcinin gözünden görüyoruz sandalın ve nehrin hareketini. Sandal -x yönünde (sola doğru), nehir ise +x yönünde (sağa doğru) hareket ediyor. Öyleyse yerden bakan gözlemciye göre sandalın bağıl hızı:

\vec{v}_{ys} = \vec{v}_{yn} - \vec{v}_{ns}

v_ys yerden bakan gözlemciye göre sandalın hızını,

v_yn yerden bakan gözlemciye göre nehrin hızını,

v_ns nehirden bakan gözlemciye göre sandalın hızını gösteriyor.

Nehrin ve sandalın hızları aynı yönde olduğu için vektörel olarak çıkarıyoruz, çünkü sandalın hızı -x yönünde.

Nehirden bakan gözlemci sandalın hızını nasıl görür?

Yukarıdaki resim nehirdeki bir gözlemcinin gözlem çerçevesine göre yerin (kıyının) ve sandalın hareketini gösteriyor. Nehre göre sandal da yer de -x yönünde (sola doğru) hareket ediyor. Nehir kendi gözlem çerçevesine göre hareket etmiyor. Nehre göre sandalın bağıl hızı v_ns ve nehre göre yerin bağıl hızı ise v_ny oluyor.

Sandaldan bakan gözlemci nehrin ve yerin hızını nasıl görür?

Sandaldan bakan gözlemcinin gözlem çerçevesine göre sandal hareket etmiyor, kendisine göre hızı sıfır. Nehir ve yer (kıyı) +x yönünde (sağa doğru) hareket ediyorlar. Nehrin sandala göre hızı v_sn ve yerin sandala göre bağıl hızı da v_sy.

Yine bu üç gösterim de, aynı duruma üç farklı gözlem çerçevesinden bakmak anlamına geliyor. Hepsi geçerli (doğru).

Yerden bakan gözlemci sandalı hangi durumda duruyormuş gibi görür?

Sandalın nehre göre hızı nehrin yere göre hızına eşit ve zıt yönde olduğu zaman yerden bakan gözlemci sandalı duruyormuş gibi görür.

\vec{v}_{ys} = \vec{v}_{ns} + \vec{v}_{yn} \vec{v}_{ys} = 0 0 =\vec{v}_{ns} + \vec{v}_{yn} \vec{v}_{ns} = - \vec{v}_{yn}

Nehir problemleri: Akıntıya dik yönde hareket

Şimdi de akıntıya dik yönde hareket eden bir sandalın bağıl hareketini inceleyelim ve yere göre bağıl hızını bulalım.

Yukarıdaki şekilde sandalın nehre göre hızı akıntıya dik, +y yönünde. Nehrin (akıntının) hızı da +x yönünde. Yerden bakan gözlemciye göre sandalın hızı bu iki hızın vektörel toplamı oluyor. Sandalın yere göre bağıl hareketinin çapraz (kuzey batıya doğru) olduğunu görebiliyoruz. Öyleyse, bağıl hız işlemlerimiz hala geçerli tek dikkat etmemiz gereken vektör toplamının iki boyutta olması.

Yukarıdaki resimde gösterildiği gibi nehre göre sandalın hızıyla, yere göre nehrin hızının vektörel toplamı, yere göre sandalın bağıl hızını veriyor. Sembollerle (harflerle) yazarsak:

\vec{v}_{ys} = \vec{v}_{yn} + \vec{v}_{ns}

Bağıl hız formülümüz değişmiyor.

Peki, akıntıya kapılmadan, bu kıyıdan karşı kıyıdaki dik noktaya varabilmesi için, sandalın nehre göre hızı nasıl olmalı?

Yukarıdaki resimde sandalın hızının yatay bileşeninin nehrin akıntısına eşit ve zıt yönde olması gerektiğini görüyoruz. Aşağıdaki resimde de sandalın nehirde dik yol alabilmesi için hız vektörünün nasıl olması gerektiği gösteriliyor. Hız vektörünü bileşenlerine ayırmamız gerekiyor.

Buradan iki sonuca varabiliriz:

1. v_ns(x) = -v_yn : Sandalın nehre göre hızının x bileşeni nehrin yere göre hızına eşit ve zıt yönde olmak zorunda.
2. v_ys = v_ns(y) : Sandalın yere göre hızı sandalın nehre göre hızının y bileşenine eşit olmak zorunda.

Örnek soru 3: Nehirden dik olarak karşıya geçen tekne

Bir nehirde bir teknenin suya göre hızı kuzeybatı yönünde yatayla 37° açı yapacak şekilde 10 m/s olarak ölçülüyor. Tekne karşı kıyıya yola çıktığı noktanın tam karşısında olacak şekilde ulaştığına göre, nehrin akıntı hızı kaç m/s’dir ve hangi yöne doğrudur?

Çözüm:

Akıntı hızının, teknenin suya göre hızının yatay bileşenine eşit ve zıt yönlü olması gerektiğini biliyoruz. Öyleyse,

v_yn = -v_ns(x)

v_ns(x) = v_ns cosθ = -10.cos(37°)

v_ns(x) = -10.0,8 = -8m/s

-v_yn = +8 m/s (doğu, +x, yönünde)

Bağıl hareket ve nehir problemleri ile ilgili kazanımlar

2017 – 11.1.2.2. Hareketli bir ortamdaki sabit hızlı cisimlerin hareketini farklı gözlem çerçevelerine göre yorumlar.

2017 – 11.1.2.3. Bağıl hareket ile ilgili hesaplamalar yapar.

• Hesaplamalarla ilgili problemlerin günlük hayattan seçilmesine özen gösterilir.

Bağıl hareket ve nehir problemleri ile ilgili Simülasyon

Geogebra’daki bu simülasyon ingilizce ama anlaşılır.