Yatay, düşey ve eğimli virajlarda emniyetli dönüş şartları

Düzgün çembersel hareketi niye öğreniyoruz? Ne işimize yarayacak bu bilgi? Sınavda çıkacak bu kadar mı? Hiç bir şey de kullanmayacaksanız, araba kullanırken virajlara yavaş girmeniz gerektiği konusunda kullanacaksınız.

Bu yazıda yatay, düşey ve eğimli virajlarda emniyetli dönüş şartlarını inceleyeceğiz. Araba kullanırken viraja hızlı girerseniz ne olabilir (hatta neredeyse kesinlikle olur)? Aşağıdaki resimdeki gibi bir felaketle karşılaşabilirsiniz.

Bu resimdeki araba virajı alamadı, yoldan çıktı ve uçurumdan uçtu. Ama neden? Tabii ki viraja fazla hızlı girdiği için. Ama tam olarak ne kadar yavaş girmesi gerekirdi, sürati ne kadar olmalıydı ki devrilmesin?

Yatay düzlemdeki virajlarda emniyetli dönüş şartları

Yatay bir viraja giren arabayı, virajı bir çember olarak modelleyerek inceleyebiliriz. Aşağıdaki resimde bir arabanın böyle bir viraja girerken üstten görünüşü gösteriliyor.

Arabanın çizgisel hızının yönünü değiştirip çembersel hareket yapmasını sağlayacak bir merkezcil kuvvete gereksinim var. Yoksa araba dümdüz gider (eylemsizliği hatırlayın), yukarıdaki uçurumdan uçan araba gibi virajı alamaz yoldan çıkar. Merkezcil kuvvetin kaynağı da arabanın tekerleri ile yol arasındaki sürtünme kuvveti. Öyleyse:

F{merkezcil} = F{surtunme} = m\frac{v^2}{r} = m\omega^2r

Bu eşitlik sağlandığı sürece araba çembersel hareket yapabilir, sürtünme kuvvetinin yeterince büyük olması lazım. Yani:

F{surtunme} \geq m\frac{v^2}{r}

Öyleyse arabanın viraja emniyetli giriş şartı süratinin (hız vektörünün büyüklüğünün) şu değerin altında olmasıdır:

v^2 \leq \frac{F{surtunme} \times r}{m}

Sürtünme kuvvetinin F{surtunme} = kmg olduğunu bildiğimize göre (arabanın yatay düzlemde olduğuna normal kuvvetin de ağırlığına eşit olduğuna dikkat edin):

v^2 \leq \frac{k\cancel{m}gr}{\cancel{m}}; \space v^2 \leq kgr

Bu süratten daha hızlı viraja girerse çembersel hareket yapamaz, savrulur, yoldan çıkar. Emniyetli dönüş hızının sürtünme katsayısıyla ve virajın yarıçapıyla doğru orantılı olduğuna dikkat edin. Buradan pratik iki sonuç çıkıyor:

1. Yağışlı havalarda sürtünme katsayısı azaldığı için, kuru havalara göre virajlara daha yavaş girmek gerekir.
2. Yarıçap azaldığı için dar virajlar, geniş virajlara göre daha tehlikelidir ve daha yavaş girilmelidir.

Düşey düzlemdeki virajlarda emniyetli dönüş şartları

Yatayı anladık da düşey düzlemde viraj mı olur? Gösterelim: Kaykaycıların döngü şeklindeki rampaları, eğlence parklarındaki hız trenlerinin (roller coaster) döngü şeklindeki rayları, bir arabanın tepeye ya da çukura girerken izlediği yol düşey virajlardır. Sırayla bakalım:

Yukarıdaki resimde bir kaykaycı çember şeklinde (aslında sarmal [spiral ya da heliks]) bir rampayı tamamlıyor. Eğer yeterince hızlı olmasaydı düşerdi. Peki rampaya girerken tam olarak süratinin (hızının büyüklüğünün) en az ne kadar olması lazım ki rampayı düşmeden tamamlayabilsin? Bu soruyu incelemek için Enerji Kaykay Parkı Simülasyonunu kullanacağız. Aşağıdaki resimde kaykaycının hareketi görülüyor.

Kaykaycının hareketinin üç noktasını inceleyelim: (1) Döngünün en altı, (2) yere dik olduğu nokta ve (3) döngünün tepe noktası. Her biri için serbest cisim diyagramını çizeceğiz, kaykaycının üzerindeki kuvvetleri göstereceğiz.

(1) Döngünün en altında kaykaycının üzerine etkiyen hem ağırlığı hem de tepki kuvveti var. Bu iki kuvvet zıt yönde, merkezcil kuvveti bulmak için vektörleri toplarız:

\vec{F}_{merkezcil} = \vec{N} + m\vec{g}

Net kuvvetin büyüklüğü, zıt vektörler olduğu için normal kuvvetin büyüklüğünün ağırlığın büyüklüğünden çıkarılmasıyla bulunabilir:

F_{merkezcil} = N - mg

(2) Kaykaycının rampada yere dik olduğu noktada yine ağırlık kuvveti ve rampanın tepki kuvveti var. Ama birbirlerine dikler. Merkezcil kuvvet sadece kaykaycıyı çembersel yörüngenin merkezine doğru iten normal kuvveti. Öyleyse bu noktada:

\vec{F}_{merkezcil} = \vec{N}

Merkezcil kuvvetin büyüklüğü de normal kuvvetin büyüklüğüne eşit. F_merkezcil = N.

(3) Döngünün tepe noktasında kaykaycının üzerinde yine ağırlığı ve rampanın tepki kuvveti var. İkisi de aynı yönlü, öyleyse merkezcil kuvvetin büyüklüğü bu ikisinin büyüklüklerinin toplamına eşit.

F_{merkezcil} = N + mg

Kaykaycının düşey çembersel yörüngenin tepe noktasından düşmeden güvenli bir şekilde geçebilmesi için:

F_{merkezcil}=m\frac{v^2}{r}

eşitliğinin sağlanması gerekir. Normal kuvveti (rampanın tepki kuvveti) sıfır olduğu durumda: (N = 0)

mg = m\frac{v^2}{r}

olmak zorundadır. Buradan kaykaycının güvenli bir şekilde düşey virajı tamamlayabileceği süratin en küçük değerini bulabiliriz:

v^2 = \frac{\cancel{m}gr}{\cancel{m}} = gr v = \sqrt {gr}

Kaykaycının düşey düzlemin en üst noktasından geçebilmesi için sahip olması gereken en küçük sürat değeri, yer çekim ivmesine ve yörünge yarıçapının kareköküne bağlıdır.

Siz de aşağıdaki resimde rampasına Damien Walters’ın düşey sarmal rampaya giriş hızını bulabilir misiniz? Boyunu 1,80 m alabilirsiniz, buradan da çemberin yarıçapını kestirebilirsiniz.

Eğimli virajlarda hareket ve güvenli dönüş şartları

Dikkat ettiyseniz otoyollarda bazı virajları eğimli yaparlar. Neden acaba? Önce uç bir örneğe bakıp Pakistan’daki cehennem çukuru yarışı dedikleri motosiklet ve arabaların oldukça eğimli bir düzlemde nasıl döndüklerini görelim.

Bu araçlar nasıl oluyor da bu kadar dik bir eğimde düşmeden dönebiliyorlar? Yeterince hızlı olmasalar ne olur? Çok hızlı giderlerse ne olur? Bir kareyi durdurup eğimli virajdaki bir arabanın serbest cisim diyagramını çizelim.

Arabanın ağırlığı (mg) yere doğru düşey doğrultuda. Rampanın uyguladığı tepki kuvvetini (N) de görüyoruz, rampaya dik doğrultuda. Sürtünme kuvvetini de ihmal edelim, işimiz kolay olsun diye. Tepki kuvvetini bileşenlerine ayıralım. Bu durumda arabanın ağırlığı N_y eşit olmalı ki arabanın ağırlığını dengelesin araba düşeyde hareket etmesin:

N_y = mg

Arabanın çembersel hareket yapmasının nedeni de merkezcil kuvvetin kaynağı olan tepki kuvvetinin x bileşeni. Öyleyse:

F_{merkezcil} = N_x = m\frac{v^2}{r}

Rampanın (bu kesitin bir eğik düzlem olduğuna dikkat edin) eğimini bilirsek bu iki ilişkiyi birbirine bağlayabiliriz. Onun için bir serbest cisim diyagramı daha çizelim.

Bu şekil daha net görmemizi sağlıyor, arabayı bir nokta olarak gösterdik. Rampanın yatayla yaptığı θ açısını kullanarak, rampanın dik üçgen özelliğiyle N ile N_y arasındaki açının da θ olduğunu bulduk. (Bunu nasıl bulduğumuzu anlamanız önemli. Adım adım yapmaya çalışın.) Şimdi elimizde şu iki eşitlik var:

N_y = Ncos\theta = mg

ve

N_x = Nsin\theta= m\frac{v^2}{r}

Her iki denklemde de N’leri yalnız bırakırsak:

N = \frac{mg}{cos\theta} N = m\frac{v^2}{rsin\theta}

Birbirine artık eşitleyebiliriz çünkü N = N.

\frac{mg}{cos\theta} = m\frac{v^2}{rsin\theta}

v’yi bulmak istiyoruz, v’yi yalnız bırakalım:

v^2 = \frac{\cancel{m}grsin\theta}{\cancel{m}cos\theta} tan\theta = \frac{sin\theta}{cos\theta}

olduğunu biliyoruz. Öyleyse:

v=\sqrt{grtan\theta}

Bir aracın eğimli bir virajı güvenli bir şekilde dönebilmesi için gerekli süratinin yarıçapın ve eğimin (tanθ’ya eğim adı da verilir) kareköküyle doğru orantılı olduğunu bulduk.

Yatay, düşey, eğimli virajlar ile ilgili Kazanımlar

12.1.1.4. Yatay, düşey, eğimli zeminlerde araçların emniyetli dönüş şartları ile ilgili hesaplamalar yapar.

• Virajlarda emniyetli dönüş için hız sınırına uymanın önemi vurgulanır.

Yatay, düşey, eğimli virajlar ile ilgili MEB ve EBA Testleri

• Düzgün Çembersel Hareket 2 – Test – 2 (2016- 2017) 
• Düzgün Çembersel Hareket 3 – Test – 3 (2017- 2018)
• Cevap anahtarlarına buradan bakabilirsiniz: